Analyse „stetigkeitsbasierter“ Methoden zur Bestimmung von Stofffrachten in Fließgewässern

Zusammenfassung

Ziel und Hintergrund

Mit wachsendem Umweltbewusstsein rückt auch die Frachtberechnung als ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der Gewässergüte weiter in den Vordergrund. Um so mehr ist es wünschenswert, für die jeweilige Situation aufgrund der vorhandenen Datenbasis das beste Verfahren zur Bestimmung von Stofffrachten zu finden. Es werden Kriterien erarbeitet, um diese Vorgabe zu erreichen.

Methode

Die Fracht eines Wasserinhaltsstoffes ist eine integrale Größe von zeitkontinuierlichen Transportwerten (Produkt von Konzentration und Abfluss) über einen bestimmten Zeitraum, beispielsweise ein Jahr (Jahresfracht). Da die üblicherweise zur Verfügung stehenden Daten jedoch nur eine Stichprobe im Sinne der Statistik darstellen und somit das Ergebnis der Frachtbestimmung variieren kann, je nach dem, welche Beobachtungen konkret vorliegen, ist der berechnete Wert als eine Schätzung für die Fracht anzusehen, der mit einer Unsicherheit behaftet ist. Diese durch die Stichprobe induzierte Unsicherheit wird quantifiziert, indem Varianz (Streuung um den „erwarteten“ Wert) plus Quadrat der Verzerrung (Abweichung des „erwarteten“ Wertes vom wahren Wert) zumindest näherungsweise ermittelt wird. Sie heißt mittlerer quadratischer Fehler. Die methodischen Ergebnisse werden durch Beispiele illustriert.

Schwerpunkt

Das Hauptaugenmerk liegt auf den Verfahren, die neben den zeitdiskret beobachteten Konzentrationsdaten auf quasi-kontinuierliche Aufzeichnungen von weiteren Einflussgrößen, insbesondere dem Abfluss, zurückgreifen können. Dazu werden mathematisch-statistische Modelle entwickelt, die Fracht abgeleitet und aufgrund der vorliegenden Daten geschätzt. Dabei zeigt sich, dass alle Modellschätzformeln auf die übliche Stichprobenformel zurückführbar sind, zuzüglich von Termen, die aus dem Vergleich bestimmter Maßzahlen (z. B. Mittelwert) der quasi-kontinuierlichen und der diskreten Stichprobenwerte hervorgehen. Die Stichprobenformel wird in dieser Weise „stetigkeitskorrigiert“. Diese Methodik heißt „stetigkeitsbasierte“ Frachtbestimmung.

Ergebnisse

Überraschenderweise zeigt sich, dass für die Frachtberechnung allein keine komplexen mathematisch-statistischen Modelle erforderlich sind. Das einfache lineare Konzentrations- oder Transportabflussmodell genügt bereits. Die Hinzunahme weiterer Einflussgrößen führt meist zu einem größeren mittlerem quadratischen Fehler in der Frachtschätzung, obwohl die Modellanpassung an die Daten nicht schlechter werden kann. Nur perfekte Modelle, die die Konzentration nahezu exakt beschreiben, führen zu einem kleineren Fehler.

Schlussfolgerungen

Zur Frachtberechnung genügt die Verwendung einer der angegeben Formeln mit einer „Stetigkeitskorrektur“, was ohne die Verwendung eines Software-Programms möglich ist.

Abstract

Aim and background

Increasing ecological awareness puts the load as a tool for water quality assessment in the foreground. Therefore it is very desirable to find optimal procedures for any given situation on basis of existing data. Criteria will be derived to fill that desire.

Method

The load for a water ingredient is an integrated entity of time-continuous loads (product of concentration and flow) for a given time, i. e. a year (yearly load). Normally you can only observe a sample (in a statistical meaning) of these data. Therefore, load calculations vary with the concrete sample given. Each such calculation represents an estimation of the load, afflicted with some uncertainty. This uncertainty can be quantified, at least approximatively, by adding variance (scatter around “expected” mean) and the square of bias (divergence of “expected” mean from true mean). This quantity is called “mean squared error”. The methodological results will be illustrated by examples.

Focus

The main focus lies on the methodologies, which, besides data of concentrations observed discretely in time, additionally use quasi-continuously recorded data of other variates, namely the flow. For that situation, statistical models are developed and the load derived and estimated according to existing data. Hereby it is seen that all model based estimation formulae can be described as standard sampling formulae plus some additional terms which stem from comparison of some measurements (i.e. mean) for quasi-continuous and discrete samples. This way a “continuity-correction” is performed on the standard formulae for the sampling case. This method is called “continuity-based” load determination.

Results

A surprising result is that no complicated mathematical-statistical models are necessary to determine the load. A simple linear concentration- or load-flow-model is sufficient. Additional variates lead, most of the time, to a larger mean squared error in load estimation, even when it is well known that they cannot detoriate the model fit. Only models which describe the concentration extraordinarily precise, near perfection, result in a smaller error.

Implications

It is enough to use one of the given formulae with some “continuity correction” to calculate a load. That can be done without using any software.

1 Einleitung

In den nationalen und internationalen Forschungsbemühungen im Umwelt- und insbesondere im Gewässerschutz, dokumentiert durch vielfältige Zielvorgaben und Auftragsstudien, stellt die Bestimmung von Stofffrachten in Fließgewässern einen wichtigen Bestandteil zur Überwachung des Schadstoffeintrags dar. Umfassender und allgemeiner Art sind beispielsweise das vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) geförderte, aus 13 Teilen bestehende Projekt Sediment Dynamics and Pollutant Mobility in Rivers (SEDYMO), siehe Förstner und Westrich (2005) und Westrich und Förstner (2005), das sich also schwerpunktmäßig mit der Feinsedimentdynamik und Schadstoffmobilität in Fließgewässern befasst. Ferner gibt es zahlreiche Beiträge im Zusammenhang mit der EU-Wasserrahmenrichtlinie (BMU 2004, 2005), etwa Fehr (2000) zum Thema Nährstoffbilanzen für Flusseinzugsgebiete oder Trepel und Kluge (2002) zur Eignung von Modellen für deren Umsetzung, um nur einige neuere Forschungsarbeiten zu nennen.

Teilweise bzw. überwiegend dem Thema Frachtberechnung widmen sich das Projekt von Richards (1998), der Beitrag von Brunswig (2000), die OSPAR-Pilotstudie von Heininger und Schild (2002) und das mehrjährige Vorhaben von Gölz und Schmidt (2003). Während in den meisten Berichten bekannte Verfahren zur Frachtberechnung zur Anwendung kommen, empfiehlt Brunswig sein Simulationsmodell TRANSPOS für diese Aufgabe. Daneben gibt es weitere Arbeiten in diesem Bereich, wie etwa die von Klopp (1986), Steinebach (1994), Keller et al. (1997), Schreiber und Krauß-Kalweit (1999) oder Hilden (2003), die aufgrund praktischer Erfahrungen und empirischer Beispielrechnungen Empfehlungen zur Frachtberechnung ableiten.

Probabilistische Ansätze im Zusammenhang mit einem regionalen Modell zu Konzentration und Abfluss diskutieren beispielsweise Warn und Brew (1980) und DiToro (1984). Dem Autor ist jedoch keine Arbeit bekannt, die bei Frachtberechnungen versucht, den Stichprobenfehler mathematisch-statistisch zu quantifizieren, um zu objektiven Beurteilungen zu kommen. Das könnte daran liegen, dass die Theorie trotz der einfachen Fragestellung klassische Wege verlässt. Üblicherweise liegt eine zeitäquidistante Auswahl der Beobachtungszeitpunkte vor. Der erste Zeitpunkt ist im Prinzip rein zufällig gewählt und die weiteren Zeitpunkte werden im festen Abstand vorgegeben. Also sind im statistischen Sinne alle Zeitpunkte zufällig und zudem abhängig voneinander. Die bei diesem Zeitstichprobenplan zu realisierenden Messgrößenwerte sind dann ebenfalls als zufällig, abhängig und auch als nichtstationär anzusehen, siehe Hebbel (2006). In dieser Form gehen sie als Einflussgrößen in die mathematisch-statistischen Modelle ein. Damit kann nicht mehr die Modelltheorie mit festen Regressoren und besten linearen unverzerrten Schätzern herangezogen werden. Die Schätzer sind infolge zufälliger Einflussgrößen vielmehr nichtlinear und verzerrt. Um dennoch die Herleitung der Ergebnisse verständlich zu machen, bedarf es einiger mathematischer Begriffsbestimmungen. Eine Vertiefung in die Theorie ist in Hebbel (2006) und Hebbel und Steuer (2007) zu finden.

2 Zeitintervallmaßzahlen von Messgrößen

Auf einem vorgegebenen Zeitintervall J von Zeitpunkt bis und damit der Länge werden verschiedene Messgrößen X, Y usw. im Zeitverlauf betrachtet, insbesondere der Abfluss Q und die (querschnittsgemittelte) Konzentration eines Wasserinhaltsstoffes C an einem Fließquerschnitt. Die theoretischen Werte zu einem Zeitpunkt t aus J sind dann usw. Konkret ermittelte Werte zu ausgewählten Messzeitpunkten aus J werden bezeichnet mit usw.

Der theoretische bzw. empirische Intervallmittelwert der Messgröße X ist der theoretische bzw. empirische (arithmetische) Mittelwert im Zeitintervall J, gegeben durch

z. B. Jahresmittel, Tagesmittel, Stundenmittel, je nach Wahl von J.

Die theoretische bzw. empirische Intervallvarianz der Messgröße X ist die theoretische bzw. empirische mittlere quadratische Abweichung vom entsprechenden Intervallmittelwert im Zeitintervall J, gegeben durch

Die theoretische bzw. empirische Intervallkovarianz der Messgrößen X und Y im Zeitintervall J ist definiert durch

bzw.

mit der multiplikativen Größe und stellt ein Maß für ihren theoretischen bzw. empirischen linearen Zusammenhang in J dar.

Die theoretische bzw. empirische Intervallkorrelation der Messgrößen X und Y im Zeitintervall J ist ein auf den Bereich −1 bis 1 normiertes Maß für ihren theoretischen bzw. empirischen linearen Zusammenhang in J, gegeben durch .

Diese Intervallmaßzahl gibt an, wie gut die Werte bzw. in J auf einer Modellgeraden der Art

liegen. Dabei wird Y zurückgeführt auf einen in X linearen Teil und in einen Restteil (als Differenzgröße). Werden die Gleichungen nach bzw. aufgelöst und ihre Intervallvarianzen berechnet, ergibt sich unmittelbar bzw. . Für , d. h. bzw. , d. h. ist die Gerade positiv (negativ) geneigt und die Abweichungen bzw. sind identisch Null im betrachteten Intervall, da in diesem Fall bzw. ist. Für bzw. , also bzw. spielt der lineare Teil im Modell keine Rolle. In diesem Fall heißen X und Y theoretisch bzw. empirisch intervallunkorreliert oder linear unabhängig im Zeitintervall J.

Die Intervallkorrelation der Ganglinien und im Intervall J hängt danach sowohl von ihren Funktionstypen (in t) als auch vom betrachteten Intervall J ab, aus dem t stammt. Ist speziell eine der zentrierten Funktionen bezüglich der Intervallmitte von J gerade und die andere ungerade, so ist ihr Produkt ungerade und damit das Integral bzw. gleich Null. Im -Diagramm bilden in diesem Fall die Punktepaare vom Intervallanfang () bis Intervallende () einen Weg, der „symmetrisch“ zum Mittelpunkt verläuft. Eine bestimmte positiv oder negativ geneigte Richtung des Gesamtweges ist nicht erkennbar.

Beispielsweise liegen für die ungeraden bzw. geraden Funktionen die Punktepaare wegen für t von 0 bis auf einem Kreis mit Radius Eins. Eine bestimmte Richtung ist auf dem Gesamtweg längs des Kreises von 0 bis nicht vorherrschend. Die Intervallkovarianz ist Null. Hingegen wäre für ein kleines Teilintervall der Weg ein Teilstück auf dem Kreis und dieser hätte (je nach Ausschnitt) eine überwiegend positive oder negative Richtung und wäre ungleich Null.

3 Abfluss, Konzentration, Transport und Fracht

Der Abfluss (Durchfluss) an einem Fließquerschnitt zum Zeitpunkt t ist das Wasservolumen, das sich pro Zeiteinheit dort hindurch bewegt (z. B. in m³/s).

Die (Massen-)Konzentration eines Wasserinhaltsstoffes C an einem Fließquerschnitt zum Zeitpunkt t ist die dort mittlere Konzentration zum Zeitpunkt t, (z. B. in mg/l  g/m³). Im Folgenden wird abkürzend von der Konzentration gesprochen. Zur möglichst genauen empirischen Bestimmung von sind entweder viele Messungen im Querschnitt erforderlich oder es muss aufgrund der Erfahrung eine „repräsentative“ Stelle im Querschnitt ausgewählt werden. Davon wird hier stets ausgegangen.

Der Transport zum Zeitpunkt t ist die pro Zeiteinheit durch den Fließquerschnitt bewegte Masse eines Stoffes, also (näherungsweise)

Die FrachtF im Zeitintervall J der Länge (z. B. in s) ist die in dieser Zeitspanne insgesamt durch den Fließquerschnitt bewegte Masse eines Stoffes, also

Es ist zweckmäßig, eine weitere Größe einzuführen, die im Zusammenhang mit der Fracht F steht. Sie wird hier MischprobenfrachtM im Zeitintervall J (z. B. in s) genannt und ist das auf J hochgerechnete Produkt der Intervallmittelwerte und , also

Der Name Mischprobenfracht wird gewählt, weil im Prinzip der Intervallmittelwert über eine kontinuierliche zeitproportionale Mischprobe gewonnen werden kann, wenn der Stoff „probenstabil“ ist und keine Konservierungsprobleme auftreten. Bei „quasi-kontinuierlich“ erfasstem Abfluss lässt sich auch sehr genau berechnen, so dass M in diesem Fall leicht und fast fehlerfrei ermittelt werden kann.

Wesentlich für die weiteren Untersuchungen ist der Zusammenhang der Fracht F und der Mischprobenfracht M. Nach Definition der Intervallkovarianz ergibt sich unmittelbar die folgende Aussage:

Für die Fracht F und die Mischprobenfracht M gilt nach Definition der Intervallkovarianz die Fundamentalgleichung

d. h. F und M stimmen dann und nur dann überein, wenn , also wenn C und Q im Intervall unkorreliert sind, wie am Ende von Kap. 1 beschrieben. Insbesondere führt ein Zusammenhang der Art nicht automatisch zur Unkorreliertheit von C und Q im Intervall J, weil dann ist. Es müssten also und im Intervall J unkorreliert sein und das trifft auch nur für bestimmte Funktionstypen und Intervalle zu (z. B. ungerade in Bezug zur Intervallmitte).

4 Strategien zur Frachtermittlung

In der Praxis werden zur Frachtbestimmung und dabei speziell zur Gewinnung der Konzentrationsdaten im Wesentlichen die Mischprobenstrategie und die systematische Zeitstichprobe zugrunde gelegt.

4.1 Mischprobenstrategie

Bei der Mischprobenstrategie wird das Gesamtintervall J in Teilintervalle eingeteilt, in die sogenannten Messintervalle, die üblicherweise gleich groß gewählt werden. In den Messintervallen wird dem Fließgewässer jeweils eine (zeitproportionale) Mischprobe entnommen, d. h. in kleinen zeitlichen äquidistanten Abständen innerhalb eines Messintervalls werden Wasserproben gleichen Volumens entnommen und zu einer gemeinsamen Probe vereinigt. Dieses Vorgehen heißt Mischprobenstrategie. Von der praktischen Probennahme über die chemische Analytik bis hin zur Aufzeichnung des Zahlenergebnisses können eine Vielzahl von Fehlern auftreten, die hier sämtlich unberücksichtigt bleiben. Das Resultat ist rein theoretisch jeweils der Intervallmittelwert eines Messintervalls . Weitere Voraussetzung ist, dass die Abflussdaten „quasi-kontinuierlich“ vorliegen bzw. jeweils der Intervallmittelwert eines Messintervalls bekannt ist. Damit kann jeweils die Mischprobenfracht berechnet werden. Der Wert

heißt Frachtschätzung nach der Mischprobenstrategie. Er stimmt aber nicht mit der eigentlich gesuchten Fracht F überein, er ist verzerrt. Aufgrund der jeweiligen Frachtfundamentalgleichung nach Kap. 3 mit der Intervallkovarianz im Teilintervall sowie ergibt sich der Zusammenhang

wobei als interne und als externe Intervallkovarianz bezeichnet werden, die sich zu ergänzen. Der mittlere quadratische Fehler der Schätzung für F ist durch das Verzerrungsquadrat gegeben.

Allgemein gelten bei positiven (internen und externen) linearen C–Q-Zusammenhängen (Ausschwemmungseffekte) die Relationen

und entsprechend bei negativen (internen und externen) linearen C–Q-Zusammenhängen (Verdünnungseffekte)

Unterschiedliche Relationen, also oder sind zwar möglich, treten jedoch in der Praxis seltener auf.

Je kleiner die Teilintervalle gewählt werden, desto kleiner ist im Allgemeinen auch die Verzerrung, weil dann mindestens eine der Größen C oder Q dort als konstant angesehen werden kann, d. h. ist, vgl. Abschn. 4.3.

Auch bei größeren Teilintervallen stimmt die Frachtschätzung mit der Fracht F dann überein, wenn sich im Mittel die einzelnen Messintervallkovarianzen aufheben, also wenn die interne Intervallkovarianz verschwindet. Zur Ermittlung von Jahresfrachten erweisen sich in etlichen praktischen Fällen 7- oder 14-tägige Mischproben als geeignet, da der interne lineare Zusammenhang von C und Q und damit die Verzerrung relativ gering ist (vgl. Schreiber und Krauß-Kalweit 1999; Hebbel und Steuer 2007). Da aber vor der Anwendung dieser Strategie kaum bekannt sein wird, ob ist, kann die Verzerrung nicht abgeschätzt werden. Auch nachher ist es ohne zusätzliche Informationen nicht möglich, den Fehler zu quantifizieren und ggf. zu korrigieren, da jeweils nur ein Wertepaar , in einem Teilintervall vorliegt, aus dem die einzelne Kovarianz nicht sinnvoll geschätzt werden kann.

Zusammenfassung Der Mischprobenschätzer ist rein mathematisch-statistisch gesehen immer dann gut, wenn der mittlere lineare Zusammenhang von C und Q in den Probenintervallen gering ist. In vielen praktischen Fällen ist diese Voraussetzung zutreffend.

4.2 Stichprobenstrategie

Werden zu einzelnen ausgewählten Zeitpunkten aus „repräsentativen“ Messintervallen die eine Zerlegung des Gesamtintervalls J darstellen, Wasserproben entnommen und analysiert, dann liegt eine Stichprobenstrategie vor. Die Zeitpunkte bzw. Messintervalle werden als repräsentativ angesehen, wenn gilt. Dann ist die Frachtschätzung durch

recht genau für die Fracht . Um diese näherungsweise Gleichheit zu erreichen, insbesondere bei größeren Teilintervallen, müssten im Prinzip Konzentration und Abfluss ständig beobachtet werden. Die praktische Umsetzung einer derartigen sogenannten bewussten Auswahl wäre sehr personal- und zeitaufwändig sowie stoffabhängig (einerseits wegen unterschiedlicher Dynamiken und andererseits aus chemisch-analytischen Gründen). Daher wird die bewusste Auswahl im Allgemeinen nicht realisierbar sein und hier nicht weiter verfolgt. Außerdem ließe sich der statistische Fehler nicht abschätzen.

Realistisch gesehen sind die Beobachtungszeitpunkte mehr oder weniger zufällig festgelegt. Sind sie nach einer rein zufälligen Zeitstichprobe ausgewählt, dann ist erwartungstreu für F und die Varianz ist durch gegeben. Je „dynamischer“ die Transportganglinie ist, desto ungenauer ist die Schätzung. Deshalb ist es sinnvoll, vorab eine Einteilung in Messintervalle (genannt Schichten) so vorzunehmen, dass innerhalb eines Teilintervalls die Transportganglinie möglichst wenig schwankt. Dann werden unabhängig in jedem Teilintervall jeweils Zeitpunkte mit rein zufällig für die Probennahmen bestimmt. Der Schätzer ist dann nach wie vor erwartungstreu und nunmehr ist die Varianz gegeben durch . Für kleine Teilintervallvarianzen wird die Schätzunsicherheit gegenüber der reinen Zufallsauswahl verringert. Aber auch diese geschichtete Zeitstichprobe ist stoffabhängig und damit schwierig in die Praxis umzusetzen. Für Stoffe, die stark abflussabhängig sind, sollte demnach in niederschlagsreichen Zeiten dichter als in niederschlagsarmen Zeiten beprobt werden.

Von besonderem Interesse ist hier die bevorzugt verwendete systematische Zeitstichprobe. Der erste Zeitpunkt ist aus rein zufällig ausgewählt. Die übrigen Zeitpunkte werden dann stets im gleichen Abstand aus den gleichlangen Teilintervallen ausgewählt, d. h. . Der auf das Gesamtintervall J hochgerechnete empirische Intervallmittelwert des Transports, also

heißt Frachtschätzung aufgrund einer systematischen Zeitstichprobe. Auch dieser Schätzer ist erwartungstreu. Die Varianz und damit der mittlere quadratische Fehler ist durch gegeben. Dabei bezeichnet den Mittelwert aller möglichen Messintervallvarianzen/Kovarianzen von T aus und Um die Varianz, die näherungsweise der einer geschichteten Zeitstichprobe mit entspricht zu reduzieren, muss offenbar in Zeitintervallen höherer Dynamik von Konzentration bzw. Abfluss dichter als in Bereichen geringerer Dynamik beprobt werden. Als Faustregel könnte gelten, dass pro Abflusswelle mindestens zwei Proben erforderlich sind. Eine Verdopplung des Stichprobenumfangs halbiert in etwa die Varianz, wenn sich die Messintervallkovarianzen aufheben. Wenn nicht, kann sogar eine weitere Verbesserung aber auch eine Verschlechterung auftreten, je nach Vorzeichen der internen Kovarianz.

Weitere Einzelheiten zu Stichproben in kontinuierlichen Grundgesamtheiten sind in Hebbel (2000) und Hebbel und Steuer (2001) zu finden.

4.3 Quasi-kontinuierliche Beprobung

Eine Beprobungsstrategie zur Frachtbestimmung heißt quasi-kontinuierlich, wenn in den Messintervallen mindestens eine der Größen Konzentration C, Abfluss Q oder Transport T dort als konstant angesehen werden kann (im Vergleich zur Variation im Gesamtzeitraum). Die Intervallkovarianzen bzw. die Intervallvarianzen verschwinden, und folglich ist die Fracht F (nahezu) exakt durch bzw. (nach Abschn. 4.1 und 4.2) berechenbar.

In diesem Fall gilt daher für die Fracht (mit sehr guter Näherung)

wobei und die (mittleren bzw. konstanten) Konzentrations- und Abflussdaten in darstellen. Damit kann die quasi-kontinuierliche Beprobung sowohl als Misch- als auch als Stichprobe angesehen werden.

Bei der Berechnung von Jahresfrachten mit der Jahreslänge d und d gelten stündliche Beobachtungen (Mischproben oder Punktproben) als quasi-kontinuierlich. Die Frachtermittlung aus den vorliegenden Daten ist (fast) fehlerfrei. Anders ist die Situation bei täglichen Probennahmen. Im Verlauf eines Tages werden die Größen C, Q oder T nicht mehr konstant sein. Vielmehr muss mit größerer Dynamik und bei bestimmten Stoffen mit typischen periodischen Tagesschwankungen gerechnet werden, siehe dazu Symader (1988) und Symader und Strunk (1991). Für Tagesdaten (Mischproben , oder Punktproben haben Hebbel und Steuer (2007) gezeigt, dass die Frachtberechnung nach über einen längeren Zeitraum (von mehreren Monaten) dennoch sehr genau ist. Die Einzelfehler heben sich weitgehend auf, sodass der Gesamtfehler der Fracht im Allgemeinen im Promillebereich liegt. Werden an einem Tag Einzelproben zu einem Zeitpunkt genommen, dann ist darauf zu achten, dass sie möglichst „repräsentativ“ für den jeweiligen Tag im Sinne des Tagesmittelwertes sind. Insbesondere sollte also nicht bei extremen Tagessituationen untersucht werden. Zumindest sollten die Uhrzeiten der Beprobungen, d. h. die Routenplanungen, von Tag zu Tag wechseln.

5 Frachtermittlung bei Vorinformation

Bei der Mischprobenstrategie werden (quasi-)kontinuierlich beobachtete Abflussdaten benötigt. Daher ist ein Vergleich mit der Stichprobenstrategie nur dann geeignet, wenn dieselbe Information über den Abfluss genutzt wird. Im Folgenden werden daher systematisch erhobene Konzentrationswerte und als „Vorinformation“ (quasi-)kontinuierlich aufgezeichnete Einflussgrößen, insbesondere die Abflussdaten vorausgesetzt, die auch zur Modellbildung herangezogen werden können (Abschn. 5.2).

5.1 Nicht-modellbasierte Frachtschätzer

Die nicht-modellbasierten Frachtschätzer stellen eine Modifikation des Stichprobenschätzers unter Nutzung kontinuierlicher Abflusswerte dar. Nachfolgend werden die vier wichtigsten Schätzer vorgestellt und miteinander verglichen.

Schätzer 1 Aus der Fracht mit der Darstellung , vgl. theoretische Intervallkovarianz in Kap. 2, ergibt sich der so genannte Momentenschätzer

indem der theoretische Mittelwert durch den empirischen Mittelwert und die theoretische Kovarianz durch die empirische Kovarianz ersetzt wird. Die Umformung (nach dem zweiten Gleichheitszeichen) folgt aus dem Stichprobenschätzer und zeigt, dass der „einfache“ Schätzer dann korrigiert wird, wenn die systematische Stichprobe den Abflussmittelwert nicht richtig erfasst. Für erfolgt eine Korrektur nach oben, bei nach unten.

Schätzer 2 Der Frachtschätzer

ergibt sich aus wenn statt der Einzelwerte aus die theoretischen Mittelwerte verwendet werden. Er ist erwartungstreu für , da gilt (vgl. Hebbel 2006), und damit verzerrt für die eigentlich gesuchte Fracht F. Statistisch gesehen ist dieser Schätzer für die Fracht F folglich stets schlechter als (im Vergleich der mittleren quadratischen Fehler), weil zu dem Quadrat der Verzerrung noch die Varianz des Schätzers hinzukommt.

Schätzer 3 Werden in die Einzelwerte aus durch den theoretischen Mittelwert ersetzt, entsteht der Schätzer

Wegen ist dieser Schätzer erwartungstreu für M und somit ebenfalls verzerrt für F und die Varianz liegt in der gleichen Größenordnung wie die von . Da nach dem Abschn. 4.1 in der Regel zwischen F und M liegt, ist meist noch schlechter als .

Schätzer 4 Die lineare Interpolation

und t aus einem Teilintervall zwischen und (bei geeigneter Extrapolation am Anfang und Ende) führt zu dem Schätzer

Hierbei ist (in etwa) die Kovarianz von t und Q in also ein Maß für ihren linearen Zusammenhang. Da aber Q im Allgemeinen keinen linearen Trend mit der Zeit t in aufweist bzw. sich die linearen Trends im (gewichteten) Mittel aufheben, ist der zweite Summand annähernd Null, so dass die lineare Interpolationsmethode (im Wesentlichen) mit dem Schätzer 2 äquivalent ist.

Zusammenfassung Da die Schätzer 2, 3 und 4 (in der Regel) statistisch schlechter als sind, werden sie im Folgenden nicht weiter betrachtet.

5.2 Modellbasierte Frachtschätzer

Der Ansatz besteht darin, Modelle für die Konzentration bzw. den Transport der Art

bzw.

mit den Nebenbedingungen

zu entwickeln, deren Einflussgrößen bzw. quasi-kontinuierlich beobachtet vorliegen. Dabei sind U und V nicht beobachtbare Restgrößen. Die Nebenbedingungen stellen sicher, dass die Fracht darstellbar ist in der Form

bzw.

d. h. statt der Originalwerte bzw. können ebenso gut die Modellwerte bzw. für die Frachtberechnung verwendet werden, die aufgrund der gemeinsamen Beobachtungen von Einfluss- und Zielgrößen zu den Beobachtungszeitpunkten geschätzt werden, z. B. mit der Methode der kleinsten Quadrate oder einem anderen Modellanpassungskriterium.

Üblich ist in diesem Zusammenhang die Verwendung reiner C-Q-Modelle wie beispielsweise

oder

bzw. eine Kombination beider Ansätze, um sowohl einen Anstiegs- als auch Verdünnungseffekt in C bei wachsendem Q zu beschreiben, siehe etwa Steinebach (1994), Keller et al. (1997) und Brunswig (2000). Weist in J einen periodischen Verlauf auf, dann könnte die Hinzunahme der trigonometrischen Schwingungen und ggf. einiger Oberwellen nützlich sein, vgl. beispielsweise Uhlig und Kuhbier (2001a, b). Wird durch den Inhaltsstoff C im Wesentlichen die Leitfähigkeit bewirkt, die (quasi-)kontinuierlich beobachtet wird, dann ist es sinnvoll, als eine Einflussgröße im Modell zu berücksichtigen, vgl. spätere Beispielrechnungen.

Da in der Praxis jede Funktion (lokal) linear approximierbar ist, kann ohne große Einschränkung ein sogenanntes lineares Modell, geschrieben als Zustandsgleichung

bzw.

mit den obigen Nebenbedingungen gewählt werden. Für die Beobachtungszeitpunkte ergeben sich die entsprechenden sogenannten Beobachtungsgleichungen, aus denen die Koeffizienten geschätzt werden.

Die Einflussgrößen selbst können dabei auch nichtlineare Transformationen anderer Größen sein, beispielsweise vom Abfluss der Art

Dennoch gelten Modelle mit derart transformierten Einflussgrößen als linear (in den Koeffizienten). Aus der statistischen Theorie der linearen Modelle und ihren Kleinst-Quadrate-Schätzungen können folgende Aussagen abgeleitet werden, siehe auch Hebbel und Steuer (2007) (Abschn. 4.2):

• 1. Die C- und T-Modelle sind zwar äquivalent, weil sie durch Multiplikation bzw. Division mit Q ineinander überführbar sind. Jedoch sind die Kleinst-Quadrate-Schätzer nicht identisch, da unterschiedliche Restquadratsummen minimiert werden.

• 2. Sind in dem linearen Modell für die Konzentration C als Einflussgrößen ein Absolutglied () und der Abfluss () enthalten, dann werden für die (exakte) Berechnung der Fracht über die Zustandsgleichung die übrigen Einflussgrößen gar nicht benötigt. Die betreffenden Koeffizienten verschwinden. Bereits bei der Diskussion der theoretischen Begriffe Fracht und Mischprobenfracht in Kap. 3 hatte sich gezeigt, dass nur der lineare Zusammenhang zwischen C und Q eine Rolle spielt. Diese Erkenntnis setzt sich hier fort. Bei der Schätzung der Fracht aus den Beobachtungsgleichungen hingegen entfallen die weiteren Einflussgrößen nicht, vgl. Aussage 4.

• 3. Ein „sparsames“ Modell mit wenigen aber wichtigen Einflussgrößen ist oft besser als ein großes komplexes Modell mit vielen, teilweise unwesentlichen Einflussgrößen und dafür zwar einer etwas geringeren Restvarianz. In einem Modell mit sehr vielen Regressoren können die geschätzten Koeffizienten größere Varianzen/Kovarianzen aufweisen, die die kleinere Restvarianz überkompensieren und somit in der Frachtschätzung insgesamt zu einem deutlich größeren mittleren quadratischen Fehler führen.

• 4. Der Vorteil linearer Modelle besteht darin, dass die Schätzung aufgrund der Beobachtungsgleichungen zu den Zeitpunkten nach der Methode der kleinsten Quadrate unter den angegebenen Restriktionen (Index r) geschlossen angegegeben werden kann.

Schätzer 5 Im C-Modell mit Absolutglied ergibt sich für die Fracht der (restringierte) Schätzer

mit

Es sind der Vektor der Einflussvariablen, bzw. der Vektor ihrer empirischen bzw. theoretischen Intervallmittelwerte, die Matrix ihrer empirischen Intervallvarianzen/Kovarianzen und bzw. der Vektor der empirischen bzw. theoretischen Intervallkovarianzen der Einflussgrößen und Q usw. Der hochgestellte Strich bedeutet das Transponiertzeichen für Vektoren und Matrizen.

Besteht nur aus einer Einflussgröße X, dann kürzen sich die meisten Werte und es verbleibt , vgl. Schätzer 5a mit .

Im Spezialfall, dass eine der Einflussgrößen neben dem Absolutglied der Abfluss Q ist, ergibt sich die Vereinfachung .

Der einfache Stichprobenschätzer wird durch den Zusatzterm „korrigiert“, wenn die Stichprobe sowohl die Intervallmittelwerte von Q und der Einflussgrößen als auch die Kovarianzen von und Q nicht richtig erfasst. Die Richtung der Korrektur wird dabei durch die jeweiligen Vorzeichen bestimmt.

Schätzer 5a Ist im Schätzer 5 der Abfluss Q die einzige Einflussvariable, dann gilt für den sogenannten Regressionsschätzer

Der Schätzer kann damit auch approximativ als ein Schätzer in einem linearen C-Q-Modell angesehen werden. Der Unterschied besteht darin, dass zusätzlich eine Korrektur von erfolgt, wenn die Stichprobe auch die Intervallvarianz von Q nicht richtig erfasst. Enthält die Ganglinie von Q zahlreiche Extremwerte (Hochwasser, Niedrigwasser), so wird die Stichprobenvarianz von Q sehr schwanken und die Folge können „Überkorrekturen“ sein. Daher empfielt sich der Schätzer 1 als robuste Variante des Schätzers 5a.

Schätzer 6 Im T-Modell gilt für den (restringierten) Frachtschätzer

mit

Die Bezeichnungen sind analog zum C-Modell gewählt und die Interpretation des Schätzers ist entsprechend.

Schätzer 6a Enthält das Modell als einzige Einflussgröße den Abfluss, d. h. ist , dann gilt

und damit (wegen )

Das Resultat ist ein so genannter Verhältnisschätzer und wird von OSPAR in den (RID) Principles empfohlen, siehe INPUT (2000).

Schätzer 7 Ist ein Absolutglied vorhanden und wird das T-Modell in der Form geschrieben, dann vereinfacht sich der Frachtschätzer zu

Schätzer 7a Ist überdies , so folgt speziell

Die Wahl eines Absolutglieds im T-Modell sollte sorgfältig überlegt werden. Im analogen C-Modell wäre die entsprechende Einflussgröße , d. h. das Absolutglied im T-Modell ist nur dann sinnvoll, wenn ein gleichbleibender „Verdünnungseffekt“ umgekehrt proportional zum Abfluss zu erwarten ist bzw. wenn stets ein „Grundtransport“ vorhanden ist.

Zusammenfassung Wenn es die Datenlage zulässt, sollte ein „stetigkeitskorrigierender“ Frachtschätzer verwendet werden. Unproblematisch und in der Güte vergleichbar sind der Momentenschätzer 1, der Regressionsschätzer 5a und der Verhältnisschätzer 6a, die in der Regel bessere Ergebnisse liefern als der einfache Stichprobenschätzer . Der Schätzer 7a ist nur in Ausnahmefällen brauchbar. Weitergehende Modellschätzer 5 oder 7 müssen sachlogisch sehr gut begründet sein und die Konzentrations- bzw. Transportganglinie nahezu exakt beschreiben. Modelle, die sich lediglich an einer „guten“ Datenanpassung orientieren, sind mit Vorsicht zu beurteilen.

6 Beispielrechnungen

Zur Veranschaulichung der Aussagen des Kap. 5 werden vier typische Beispiele ausgewählt. Zahlreiche weitere sind in Hebbel und Steuer (2007) zu finden. Für die empirischen Berechnungen werden wegen der einfacheren Unterteilung nur Intervalle der Länge von 364 Tagen herangezogen. Die Konzentrationsdaten C und die Abflussdaten Q sind quasi-kontinuierlich als Tagesdaten (Tagesmischproben oder Tagesstichproben) verfügbar. Nach der Diskussion im Kap. 4 ist damit die Gesamtfracht F im 364-Tageintervall, kurz Jahresfracht genannt, (fast) fehlerfrei berechenbar und dient als Referenzwert. Die Mischprobenfracht M wird zur Veranschaulichung der Fundamentalgleichung aus Kap. 3 ebenfalls angegeben.

Als Stichprobenstrategien werden die 14-tägige Mischprobe , die einen Wert liefert, der meist zwischen F und M liegt, und die 14-tägige systematische Stichprobe bezüglich der Konzentration C gewählt, und zwar für Chlorid Cl in Bimmen (Rhein) und Nitrat NO₃ in Palzem (Mosel), jeweils für zwei verschiedene Jahre. Die Mischprobe wird mathematisch (als Mittelwert über jeweils 14-Tagesintervalle) bestimmt und ist somit frei von sämtlichen übrigen Fehlern (vgl. Abschn. 4.1). Die 14 verschieden Werte für sind als Liniengrafik dargestellt und schwanken (wegen der Erwartungstreue) um F. Die Schwankungsintensität bestimmt die Varianz des Schätzers Alle diese Werte sind zu Vergleichszwecken mit den „stetigkeitskorrigierenden“ Frachtschätzern in die Bilder eingetragen.

In die Berechnungen einbezogen werden die C-Modellschätzer 1 und 5a, ein Modellschätzer 5 für Chlorid Cl in Abhängigkeit der Leitfähigkeit LF sowie die T-Modellschätzer 6a und 7a (Abb. 1–4).

Abb. 1

Ganglinien von Q, in Palzem (Mosel) 1980, die Werte F—, - -, M ... und die 14 linear verbundenen Werte — im Vergleich mit „stetigkeitsbasierten“ Frachtschätzern}

Abb. 2

Ganglinien von Q, in Palzem (Mosel) 1981, die Werte F—, - -, M ... und die 14 linear verbundenen Werte — im Vergleich mit „stetigkeitsbasierten“ Frachtschätzern}

Abb. 3

Ganglinien von Q, Cl, LF in Bimmen (Rhein) 1979, die Werte F—, - -, und die 14 linear verbundenen Werte — im Vergleich mit „stetigkeitsbasierten“ Frachtschätzern

Abb. 4

Ganglinien von Q, in Bimmen (Rhein) 1980, die Werte F—, - -, und die 14 linear verbundenen Werte — im Vergleich mit „stetigkeitsbasierten“ Frachtschätzern

Kommentare

Cl Die Ganglinien von Cl weisen einen deutlichen Wochengang auf, ebenso wie die Leitfähigkeit LF mit sehr ähnlichen Verläufen. Insbesondere 1980 überträgt sich der Wochengang auf die Schätzwerte Hier ist der Cl-LF-Modellschätzer besonders gut. 1979 schneiden Momenten- und Verhältnischätzer 1 und 6a am besten ab und sind auch besser als . Schätzer 7a deckt sich mit . Die Vorteile relativieren sich im Folgejahr 1980. Selbst stoffbezogen sind also keine generellen Aussagen zur Verwendung eines bestimmten Schätzers möglich.

NO₃ Momenten- und Verhältnischätzer sind deutlich besser als , am besten ist jedoch (gering verzerrt), zumindest für 1980. Schätzer 7a ist ganz schlecht und gar nicht erst eingetragen (weil C nicht umgekehrt proportional zu Q ist).

1981 ist ein Beispiel dafür, dass nicht zwischen F und M liegen muss (interne und externe Kovarianz haben verschiedene Vorzeichen).